T型,Pi型ATT(抵抗3本の減衰回路)

t_pi_pad1

計算ツール

$R_S \rm{[\Omega]}$

$R_L \rm{[\Omega]}$

$A \rm{[dB]}$

$R_S \rm{[\Omega]}$	$R_L \rm{[\Omega]}$	$A \rm{[dB]}$	$R_{T1} \rm{[\Omega]}$	$R_{T2} \rm{[\Omega]}$	$R_{T3} \rm{[\Omega]}$	$R_{\Pi 1} \rm{[\Omega]}$	$R_{\Pi 2} \rm{[\Omega]}$	$R_{\Pi 3} \rm{[\Omega]}$

計算方法の説明

この計算は，$R_S$，$R_L$，$a$が与えられたときに，$R_{T1}$，$R_{T2}$，$R_{T3}$と，$R_{\Pi1}$，$R_{\Pi2}$，$R_{\Pi3}$を求めるものです。ここで，$R_S$は電圧源の出力抵抗，$R_L$は負荷抵抗です。$a$はATTなしで電圧源と負荷抵抗を接続したときの電圧と，T型/Pi型ATTを入れたときの電圧との比です。AはそれをdBにしたものです。

T型ATTの抵抗値の計算

$R_{T1}$，$R_{T2}$，$R_{T3}$について考えます。

まず$R_S$についての式ですが，$R_S$から右側をみて$R_S$の抵抗が繋がっているようにしたいので，$R_S$の右側の4つの抵抗の合成抵抗を計算すると， $$ R_{S} = R_{T1} + \frac{R_{T2} \left(R_{T3} + R_{L}\right)}{R_{T2} + R_{T3} + R_{L}} $$ となります。

次に$R_L$についての式ですが，同じく$R_L$から左側をみて$R_L$の抵抗が繋がっているようにしたいので， $$ R_{L} = \frac{R_{T2} \left(R_{T1} + R_{S}\right)}{R_{T1} + R_{T2} + R_{S}} + R_{T3} $$ となります。

最後に$a$についての式ですが，まずATTなしで負荷と直結したとき（図は省略）の$v_o$を$v_o'$とおくと， $$ v_{o}' = \frac{R_L}{R_S + R_L} v_i $$ が成り立ちます。今度はATTがあるときの$v_o$についての式を立てます。テブナンの定理を用いていったん以下の等価回路に置き換えます。

t_pi_pad2

$R^{'}$は電圧源を短絡した状態で$R_L$側から左側をみた回路の合成抵抗で，先に立てた$R_L$の式と同じとなります。 $$ R^{'} = \frac{R_{T2} \left(R_{T1} + R_{S}\right)}{R_{T1} + R_{T2} + R_{S}} + R_{T3} = R_{L} $$ $v^{'}$は負荷$R_L$を切り離したときに左側の回路網に現れる電圧で，以下となります。 $$ v^{'} = \frac{R_{T2}}{R_{T1}+R_{T2}+R_S} v_i $$ $R^{'}$，$v^{'}$と先の等価回路から，$v_o$は $$ v_o = \frac{R_L}{R^{'}+R_L} v^{'} = \frac{R_L}{R_L+R_L} \frac{R_{T2}}{R_{T1}+R_{T2}+R_S} v_i = \frac{1}{2} \frac{R_{T2}}{R_{T1}+R_{T2}+R_S} v_i $$ となります。ATTを入れた電圧$v_o$とATTを入れていない$v_o^{'}$の比は以下で得られます。 $$ a = \frac{v_o}{v_o^{'}} = \frac{\frac{1}{2} \frac{R_{T2}}{R_{T1}+R_{T2}+R_S} v_i}{\frac{R_L}{R_S + R_L} v_i} = \frac{1}{2} \frac{R_{T2} (R_S + R_L)}{R_L (R_{T1}+R_{T2}+R_S)} $$

得られた$R_S$，$R_L$，$a$を用いて$R_{T1}$，$R_{T2}$，$R_{T3}$について解くと，以下が得られます。

$$ R_{T1} = \frac{R_{S} \left(- 4 R_{L}^{2} a + R_{L}^{2} + 4 R_{L} R_{S} a^{2} - 4 R_{L} R_{S} a + 2 R_{L} R_{S} + R_{S}^{2}\right)}{R_{L}^{2} - 4 R_{L} R_{S} a^{2} + 2 R_{L} R_{S} + R_{S}^{2}} $$

$$ R_{T2} = \frac{4 R_{L} R_{S} a \left(R_{L} + R_{S}\right)}{R_{L}^{2} - 4 R_{L} R_{S} a^{2} + 2 R_{L} R_{S} + R_{S}^{2}} $$

$$ R_{T3} = \frac{R_{L} \left(R_{L}^{2} + 4 R_{L} R_{S} a^{2} - 4 R_{L} R_{S} a + 2 R_{L} R_{S} - 4 R_{S}^{2} a + R_{S}^{2}\right)}{R_{L}^{2} - 4 R_{L} R_{S} a^{2} + 2 R_{L} R_{S} + R_{S}^{2}} $$

Pi型ATTの抵抗値の計算

Y-Δ変換を使います。下図の左のY型の回路と右のΔ型の回路は等価変換することができ，

t_pi_pad3

Y型からΔ型の回路へは以下の式で変換できます。

$$ R_{\Pi 1} = \frac{R_{T1} R_{T3} + R_{T3} R_{T2} + R_{T2} R_{T1}}{R_{T3}} $$

$$ R_{\Pi 2} = \frac{R_{T1} R_{T3} + R_{T3} R_{T2} + R_{T2} R_{T1}}{R_{T2}} $$

$$ R_{\Pi 3} = \frac{R_{T1} R_{T3} + R_{T3} R_{T2} + R_{T2} R_{T1}}{R_{T1}} $$

補足

利得A[dB]は以下です。

$$ A = 20 \log_{10} a $$

以上です。

更新履歴

2021.08.21, 計算ツール作成，数式記載

2021.09.05, 数式を簡単化，文章作成